Fraktale Geometrie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 51. Kapitel: Fraktal, Mandelbrot-Menge, Julia-Menge, Seltsamer Attraktor, Iteriertes Funktionensystem, Küstenlänge, Sierpinski-Dreieck, Lindenmayer-System, Hausdorff-Dimension, Koch-Kurve, Cantor-Menge, Fraktale Dimension, Menger-Schwamm, Kubische Iterationen, Newton-Fraktal, Bifurkation, Electric Sheep, Millennium-Simulation, Drachenkurve, Pythagoras-Baum, Selbstähnlichkeit, Skaleninvarianz, Z-Kurve, Ljapunow-Diagramm, Sierpinski-Teppich, Hilbert-Kurve, Peano-Kurve, Cesàro-Kurve, E-Kurve, Monsterkurve, Hénon-Abbildung, Gosper-Kurve, Sierpinski-Kurve, FASS-Kurve, Hurst-Exponent. Auszug: Die Mandelbrot-Menge ist eine fraktal erscheinende Menge, die eine bedeutende Rolle in der Chaosforschung spielt. Der Rand der Menge weist eine Selbstähnlichkeit auf, die jedoch nicht exakt ist, da es zu Verformungen kommt. Die Visualisierung der Menge wird im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch Apfelmännchen genannt. Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von Robert Brooks und Peter Matelski vorgestellt. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot, nach dem die Menge benannt wurde, eine Arbeit über das Thema. Darauf folgend wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet. Mandelbrot-Menge (schwarz) mit farbig dargestellter Umgebung. Jedem Pixel ist eine bestimmte Zahlenfolge zugeordnet. Der Folgenindex, ab dem alle Folgenglieder einen Betrag größer als 1000 haben, wächst von Farbstreifen zu Farbstreifen zur Mandelbrot-Menge hin um den Wert 1. Weitere Mandelbrot-Menge mit höherer Auflösung Die Mandelbrot-Menge (schwarz) in der komplexen Ebene Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller komplexen Zahlen , für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen mit dem Bildungsgesetz und dem Anfangsglied beschränkt bleibt, das heißt, der Betrag der Folgenglieder wächst nicht über alle Grenzen. Die grafische Darstellung dieser Menge erfolgt in der komplexen Ebene. Die Punkte der Menge werden dabei in der Regel schwarz dargestellt und der Rest farbig, wobei die Farbe eines Punktes den Grad der Divergenz der zugehörigen Folge widerspiegelt (siehe unten). Die Mandelbrot-Menge wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge zu einer bestimmten komplexen Zahl ist definiert als der Ra