Höhere Mathematik

Auf vielfachen Wunsch liegt jetzt die zweite, verbesserte Auflage des Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs Höhere Mathematik vor. Neben dem üblichen Vorlesungsstoff bieten die Autoren auch weiterführende Anregungen. So gehen sie u.a. auf numerische Aspekte ein (eingefügte Programme, die auf erprobten Algorithmen beruhen). Der erste Band umfaßt neben Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen Variablen auch Vektoranalyis, Integralsätze und die n-dimensionale Vektor- und Matrizenrechnung. Eine Fülle eindrucksvoller Abbildungen, praxisbezogener Beispiele und Übungsaufgaben tragen zu Anschaulichkeit bei. Besonders gekennzeichnete Zusammenfassungen mit detaillierten Rechenschemata eignen sich hervorragend zur Prüfungsvorbereitung. Mit diesem zweibändigen Werk liegt nicht nur eine kompakte und umfassende Einführung in die Höhere Mathematik vor, sondern gleichzeitig auch ein Nachschlagewerk für Praktiker.

Inhaltsangabe1. Zahlen und Vektoren.-
1. Mengen und Abbildungen.- 1.1 Mengen.- 1.2 Mengenoperationen.- 1.3 Abbildungen.-
2. Die reellen Zahlen.- 2.1 Bezeichnungen.- 2.2 Ungleichungen.- 2.3 Intervalle.- 2.4 Schranken.- 2.5 Der Betrag.- 2.6 Die vollständige Induktion.- 2.7 Binomialkoeffizienten und die binomische Formel.- Aufgaben.-
3. Die Ebene.- 3.1 Kartesische Koordinatensysteme.- 3.2 Winkel.- 3.3 Sinus, Cosinus.- 3.4 Drehungen.-
4. Vektoren.- 4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum.- 4.2 Vektoren.- 4.3 Die Addition von Vektoren.- 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors.- 4.5 Der Betrag.- 4.6 Vektoren im Koordinatensystem.-
5. Produkte.- 5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren.- 5.2 Das Skalarprodukt.- 5.3 Das Vektorprodukt.- 5.4 Das Spatprodukt.- Aufgaben.-
6. Geraden und Ebenen.- 6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden.- 6.2 Die Koordinatengleichungen einer Geraden.- 6.3 Die Momentengleichung der Geraden.- 6.4 Abstand Punkt-Gerade.- 6.5 Abstand Gerade-Gerade.- 6.6 Parameterdarstellungen einer Ebene.- 6.7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.- 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen.- 6.9 Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden.- Aufgaben.-
7. Gebundene Vektoren.- 7.1 Gebundene Vektoren.- 7.2 Ein System gebundener Vektoren.- 7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren.- Aufgaben.-
8. Die komplexen Zahlen.- 8.1 Die Menge der komplexen Zahlen.- 8.2 Die vier Grundrechenarten in ?.- 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen.- 8.4 Anwendungen.- 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit.-
1. Funktionen (Grundbegriffe).- 1.1 Funktionen.- 1.2 Monotonie.- 1.3 Das Rechnen mit Funktionen.-
2. Polynome und rationale Funktionen.- 2.1 Polynome.- 2.2 Polynomnullstellen - Faktorisierung.- 2.3 Polynom-interpolation.- 2.4 Der Graph.- 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdivision.- 2.6 Der Definitionsbereich D.- 2.7 Ergänzung: Polynome über ?.- Aufgaben.-
3. Die Kreisfunktionen.- 3.1 Definition und einfache Eigenschaften.- 3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion.- 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen.- 3.4 Anwendungen der De Moivre-Formeln.- 3.5 Harmonische Schwingungen.- Aufgaben.-
4. Zahlenfolgen und Grenzwerte.- 4.1 Folgen.- 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen.-
5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien.- 5.1 Rechenregeln.- 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschätzung.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Die Exponentialfunktion.- 5.5 Für Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium.- Aufgaben.-
6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit.- 6.1 Definitionen.- 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung.- 6.3 Asymptoten.- 6.4 Stetigkeit.- Aufgaben.- 3. Differentiation.-
1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion.- 1.1 Die Definition der Ableitung.- 1.2 Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg.- 1.3 Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation.- 1.4 Die physikahsche Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit.- 1.5 Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit.- 1.6 Diflferentiationsregeln.- 1.7 Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen.- 1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen.- 1.9 Die Kettenregel.- 1.10 Höhere Ableitungen.- Aufgaben.-
2. Anwendungen der Differentiation.- 2.1 Maxima und Minima einer Funktion.- 2.2 Der Mittelwertsatz.- 2.3 Wendepunkte.- 2.4 Die Regeln von De L'Hospital.- 2.5 Kurvendiskussion.- 2.6 Nullstellen und Fixpunkte.- 2.7 Kubische Splines.- Aufgaben.-
3. Umkehrfunktionen.- 3.1 Grundlagen.- 3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten.- 3.3 Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens.- Aufgaben.-
4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion.- 4.1 Die e-Funktion.- 4.2 Die Kurve y = ex ? 4.3 Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse.- 4.4 Der natürliche Logarithmus.- 4.5 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen.- 4.6 Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh.- Aufgaben.- 4. Integration.-
1. Das bestimmte Integral.- 1.1 Die Definition des bestimmten Integrals.- 1.2 Die geometrisch

1. Zahlen und Vektoren.-
1. Mengen und Abbildungen.-
2. Die reellen Zahlen.-
3. Die Ebene.-
4. Vektoren.-
5. Produkte.-
6. Geraden und Ebenen.-
7. Gebundene Vektoren.-
8. Die komplexen Zahlen.- 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit.-
1. Funktionen (Grundbegriffe).-
2. Polynome und rationale Funktionen.-
3. Die Kreisfunktionen.-
4. Zahlenfolgen und Grenzwerte.-
5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien.-
6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit.- 3. Differentiation.-
1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion.-
2. Anwendungen der Differentiation.-
3. Umkehrfunktionen.-
4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion.- 4. Integration.-
1. Das bestimmte Integral.-
2. Integrationsregeln.-
3. Die Integration der rationalen Funktionen.-
4. Uneigentliche Integrale.-
5. Kurven, Längen- und Flächenmessung.-
6. Weitere Anwendungen des Integrals.-
7. Numerische Integration.- 5. Potenzreihen.-
1. Unendliche Reihen.-
2. Reihen von Funktionen.-
3. Potenzreihen.-
4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen.-
5. Anwendungen (an Beispielen).- 6. Lineare Algebra.-
1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.-
2. Die Matrizenmultiplikation.-
3. Vektorräume.-
4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen.-
5. Determinanten.-
6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte.-
7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen.- 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation.-
1. Kurven im ?n.-
2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher.-
3. Anwendungen der Differentiation.-
4. Vektorwertige Funktionen.- 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration.-
1. Parameterintegrale.-
2. Kurvenintegrale.-
3. Die Integration über ebene Bereiche.-
4. Die Integration über Flächen im Raum.-
5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche.- Anhang: Pascal-Programme.- Namen- und Sachverzeichnis.